Обечайка цилиндрическая: Цилиндрическая обечайка | Метком

Метод цилиндрических оболочек

Опять же, мы работаем с телом вращения. Как и прежде, определим область \(R\), ограниченную сверху графиком функции \(y=f(x)\), снизу \(x\)-осью , а слева и справа от линий \(x=a\) и \(x=b\) соответственно, как показано на рисунке \(\PageIndex{1a}\). Затем мы вращаем эту область вокруг оси \(y\), как показано на рисунке \(\PageIndex{1b}\). Обратите внимание, что это отличается от того, что мы делали раньше. Ранее области, определяемые в терминах функций \(x\), вращались вокруг 9∗_i)\) и ширину \(Δx\). Репрезентативный прямоугольник показан на рисунке \(\PageIndex{2a}\). Когда этот прямоугольник вращается вокруг оси \(y\), вместо диска или шайбы мы получаем цилиндрическую оболочку, как показано на рисунке \(\PageIndex{2}\).

Это приводит к следующему правилу для метода цилиндрических оболочек .

Правило: метод цилиндрических оболочек

Пусть \(f(x)\) непрерывна и неотрицательна. Определим \(R\) как область, ограниченную сверху графиком \(f(x)\), снизу осью \(x\), слева линией \(x=a\) , а справа линией \(x=b\). Тогда объем тела вращения, образованного вращением \(R\) вокруг оси \(y\), равен 9b_a(2π\,x\,f(x))\,dx. \nonumber \]

Теперь рассмотрим пример.

Пример \(\PageIndex{1}\): метод цилиндрических оболочек I

Определить \(R\) как область, ограниченную сверху графиком \(f(x)=1/x\) и снизу по оси

Решение

Сначала мы должны построить область \(R\) и связанное с ней тело вращения, как показано на рисунке \(\PageIndex{5}\). 93\)

Как и в случае метода диска и метода шайбы, мы можем использовать метод цилиндрических оболочек с телами вращения, вращающимися вокруг оси \(x\), когда мы хотим проинтегрировать по \(y\). Аналогичное правило для этого типа твердого тела приведено здесь.

Правило: Метод цилиндрических оболочек для тел вращения вокруг оси \(x\)

Пусть \(g(y)\) непрерывна и неотрицательна. Определим \(Q\) как область, ограниченную справа графиком \(g(y)\), слева — осью \(y\), снизу линией \(y=c\) , а выше строкой \(y=d\). Тогда объем тела вращения, образованного вращением \(Q\) вокруг оси \(x\), равен 9d_c(2π\,y\,g(y))\,dy. \nonumber \]

Пример \(\PageIndex{3}\): Метод цилиндрических оболочек для твердого тела, вращающегося вокруг оси \(x\)

Определить \(Q\) как область, ограниченную справа по графику \(g(y)=2\sqrt{y}\) и слева по оси \(y\) для \(y∈[0,4]\). Найдите объем тела вращения, образованного вращением \(Q\) вокруг оси \(х\).

Решение

Во-первых, нам нужно изобразить область \(Q\) и связанное с ней тело вращения, как показано на рисунке \(\PageIndex{7}\). 93 \end{align*}\]

Упражнение \(\PageIndex{3}\)

Определить \(Q\) как область, ограниченную справа графиком \(g(y)=3/y \) и слева по оси \(y\) для \(y∈[1,3]\). Найдите объем тела вращения, образованного вращением \(Q\) вокруг оси \(х\).

Подсказка

Используйте процесс из примера \(\PageIndex{3}\).

Ответить

\(12π\) единиц 9*_i)\left(\dfrac {x_i+x_{i-1}}{2}\right)(x_i-x_{i-1}).\end{align*}\]

Это было основано на оболочка с внешним радиусом \(x_i\) и внутренним радиусом \(x_{i−1}\). Однако если мы повернем область вокруг линии, отличной от оси \(y\), мы получим другой внешний и внутренний радиусы. Предположим, например, что мы вращаем область вокруг линии \(x=−k,\), где \(k\) — некоторая положительная константа. Тогда внешний радиус оболочки равен \(x_i+k\), а внутренний радиус оболочки равен \(x_{i−1}+k\). Подставляя эти члены в выражение для объема, мы видим, что при вращении плоской области вокруг линии \(x=−k,\) объем оболочки равен 9b_a(2π(x+k)f(x))dx. \nonumber \]

Мы также можем вращать область вокруг других горизонтальных или вертикальных линий, таких как вертикальная линия в правой полуплоскости. В каждом случае формула объема должна быть скорректирована соответствующим образом. В частности, член \(х\) в интеграле должен быть заменен выражением, представляющим радиус оболочки. Чтобы увидеть, как это работает, рассмотрим следующий пример.

Пример \(\PageIndex{4}\): область вращения, вращающаяся вокруг линии

Определим \(R\) как область, ограниченную сверху графиком \(f(x)=x\) и снизу по оси \(x\) на интервале \([1,2]\). Найдите объем тела вращения, образованного вращением \(R\) вокруг линии \(x=−1.\)

Решение

Сначала начертите область \(R\) и связанное с ней тело оборот, как показано на рисунке \(\PageIndex{8}\).

Рисунок \(\PageIndex{8}\): (a) Область \(R\) между графиком \(f(x)\) и осью \(x\) на интервале \([1 ,2]\). (b) Тело вращения, образованное вращением \(R\) вокруг линии \(x=−1. \) 92\) и ниже по оси \(x\) на интервале \([0,1]\). Найдите объем тела вращения, образованного вращением \(R\) вокруг линии \(x=−2\).

Подсказка

Используйте процесс из примера \(\PageIndex{4}\).

Ответить

\(\dfrac {11π}{6}\) единиц ³

В качестве последнего примера в этом разделе рассмотрим объем тела вращения, область вращения которого ограничена графиками двух функций.

Пример \(\PageIndex{5}\): область вращения, ограниченная графиками двух функций

Определим \(R\) как область, ограниченную сверху графиком функции \(f(x)= \sqrt{x}\) и ниже по графику функции \(g(x)=1/x\) на интервале \([1,4]\). Найдите объем тела вращения, образованного вращением \(R\) вокруг оси \(y\).

Решение

Сначала начертите область \(R\) и соответствующее тело вращения, как показано на рисунке \(\PageIndex{9}\).

Рисунок \(\PageIndex{9}\): (a) Область \(R\) между графиком \(f(x)\) и графиком \(g(x)\) на интервале \ ([1,4]\). (b) Тело вращения, образованное вращением \(R\) вокруг оси \(y\).

Обратите внимание, что осью вращения является ось \(y\), поэтому радиус оболочки задается просто \(x\). Нам не нужно вносить какие-либо коррективы в x-член нашего подынтегрального выражения. Однако высота оболочки определяется выражением \(f(x)−g(x)\), поэтому в этом случае нам нужно скорректировать член \(f(x)\) подынтегральной функции. Тогда объем твердого тела равен 92\) на интервале \([0,1]\). Найдите объем тела вращения, образованного вращением \(R\) вокруг оси \(y\).

Подсказка

Подсказка: используйте процесс из примера \(\PageIndex{5}\).

Ответить

\(\dfrac {π}{6}\) единиц ³

Какой метод следует использовать?

Мы изучили несколько методов нахождения объема тела вращения, но как узнать, какой метод использовать? Часто все сводится к выбору того, какой интеграл проще всего вычислить. Рисунок \(\PageIndex{10}\) описывает различные подходы для тел вращения вокруг оси \(x\). Вам предстоит разработать аналогичную таблицу для тел вращения вокруг оси \(y\).

Рисунок \(\PageIndex{10}\)

Давайте рассмотрим пару дополнительных задач и выберем наилучший подход к их решению.

Пример \(\PageIndex{6}\): выбор наилучшего метода

Для каждой из следующих задач выберите наилучший метод нахождения объема тела вращения, образованного вращением заданной области вокруг \(x \)-ось и настройте интеграл, чтобы найти объем (интеграл не оценивайте).

1. Область, ограниченная графиками \(y=x, y=2−x,\) и осью \(x\). 92\) и оси \(х\).

Раствор

а.

Сначала нарисуйте область и тело вращения, как показано.

Рисунок \(\PageIndex{11}\): (a) Область \(R\), ограниченная двумя линиями и осью \(x\). (b) Тело вращения, образованное вращением \(R\) вокруг оси \(x\).

Глядя на область, если мы хотим интегрировать по \(x\), нам придется разбить интеграл на две части, потому что у нас есть разные функции, ограничивающие область по \([0,1]\) и \([1,2]\). В этом случае, используя дисковый метод, мы получили бы 91_0 2π\,y[2−2y]\,dy. \nonumber \]

Ни один из этих интегралов не является особенно обременительным, но поскольку метод оболочки требует только одного интеграла, а подынтегральная функция требует меньшего упрощения, в данном случае нам, вероятно, следует использовать метод оболочки.

б.

Сначала нарисуйте область и тело вращения, как показано.

Рисунок \(\PageIndex{12}\): (a) Область \(R\) между кривой и осью \(x\). (b) Тело вращения, образованное вращением \(R\) вокруг оси \(x\). 92\справа]\,dx\номер\]

Ключевые понятия

• Метод цилиндрических оболочек — еще один метод использования определенного интеграла для вычисления объема тела вращения. Этот метод иногда предпочтительнее либо метода дисков, либо метода шайб, потому что мы интегрируем по другой переменной. В некоторых случаях один интеграл существенно сложнее другого.
• Геометрия функций и сложность интегрирования являются основными факторами при принятии решения о том, какой метод интегрирования использовать. 9b_a\left(2π\,x\,f(x)\right)\,dx\)

  Глоссарий

  метод цилиндрических оболочек

  метод расчета объема тела вращения путем деления тела на вложенные друг в друга цилиндрические оболочки; этот метод отличается от методов дисков или шайб тем, что мы интегрируем по противоположной переменной

  ---

  Эта страница под названием 6.3: Volumes of Revolution — цилиндрические оболочки распространяется в соответствии с лицензией CC BY-NC-SA 4.0 и была создана, изменена и/или курирована Гилбертом Странгом и Эдвином «Джедом» Херманом (OpenStax) через исходный контент. это было отредактировано в соответствии со стилем и стандартами платформы LibreTexts; подробная история редактирования доступна по запросу.

  1. Наверх
  • Была ли эта статья полезной?

  1. Тип изделия

     Раздел или Страница

     Автор

     ОпенСтакс

     Лицензия

     CC BY-NC-SA

     Версия лицензии

     4,0

     Программа OER или Publisher

     ОпенСтакс

     Показать страницу TOC

     нет

  2. Теги

     1. автор @ Эдвин «Джед» Герман
     2. автор@Гилберт Странг
     3. метод цилиндрических оболочек
     4. тело вращения
     5. источник@https://openstax. org/details/books/calculus-volume-1
     6. Объем по Shells

  6.3 Volumes of Revolution: цилиндрические оболочки — исчисление, том 1

  Цели обучения

  • 6.3.1 Вычислите объем тела вращения методом цилиндрических оболочек.
  • 6.3.2 Сравните различные методы расчета объема вращения.

  В этом разделе мы рассмотрим метод цилиндрических оболочек, последний метод нахождения объема тела вращения. Мы можем использовать этот метод для тех же типов твердых тел, что и метод диска или метод шайбы; однако при использовании метода диска и шайбы мы интегрируем по оси координат, параллельной оси вращения. Методом цилиндрических оболочек интегрируем по оси координат перпендикулярно к оси вращения. Возможность выбирать, какую переменную интегрирования мы хотим использовать, может быть значительным преимуществом для более сложных функций. Кроме того, специфическая геометрия твердого тела иногда делает метод использования цилиндрических оболочек более привлекательным, чем метод шайбы. В последней части этого раздела мы рассмотрим все методы определения объема, которые мы изучили, и изложим некоторые рекомендации, которые помогут вам определить, какой метод использовать в той или иной ситуации.

  Метод цилиндрических оболочек

  Опять же, мы работаем с телом вращения. Как и ранее, определим область R,R, ограниченную сверху графиком функции y=f(x),y=f(x), снизу осью x, осью x, а слева и справа линиями x=ax=a и x=b,x=b соответственно, как показано на рис. 6.25(a). Затем мы вращаем эту область вокруг оси y , как показано на рис. 6.25(b). Обратите внимание, что это отличается от того, что мы делали раньше. Ранее области, определенные в терминах функций xx, вращались вокруг оси xx или линии, параллельной ей.

  Рисунок 6,25 а) Область, ограниченная графиком функции от х. х. (b) Тело вращения, сформированное, когда область вращается вокруг оси y. ось y.

  Как мы уже делали много раз ранее, разобьем интервал [a,b][a,b] с помощью обычного разбиения P={x0,x1,…,xn}P={x0,x1,…,xn} и , для i=1,2,…,n,i=1,2,…,n выберем точку xi*∈[xi−1,xi].xi*∈[xi−1,xi]. Затем постройте прямоугольник на интервале [xi−1,xi][xi−1,xi] высоты f(xi*)f(xi*) и ширины ∆x.∆x. Типичный прямоугольник показан на рис. 6.26(а). Когда этот прямоугольник вращается вокруг у -оси вместо диска или шайбы получаем цилиндрическую оболочку, как показано на следующем рисунке.

  Рисунок 6,26 (а) Репрезентативный прямоугольник. (b) Когда этот прямоугольник вращается вокруг оси y, получается цилиндрическая оболочка. (c) Когда мы сложим все оболочки вместе, мы получим аппроксимацию исходного твердого тела.

  Чтобы рассчитать объем этой оболочки, рассмотрите рисунок 6.27.

  Рисунок 6,27 Расчет объема скорлупы.

  Оболочка представляет собой цилиндр, поэтому ее объем равен площади поперечного сечения, умноженной на высоту цилиндра. Поперечные сечения представляют собой кольца (области в форме колец — по сути, круги с отверстием в центре) с внешним радиусом xixi и внутренним радиусом xi−1.xi−1. Таким образом, площадь поперечного сечения равна πxi2−πxi−12,πxi2−πxi−12. Высота цилиндра равна f(xi*).f(xi*). Тогда объем оболочки

  Vshell=f(xi*)(πxi2−πxi−12)=πf(xi*)(xi2−xi−12)=πf(xi*)(xi+xi−1)(xi−xi−1)=2πf (xi*)(xi+xi−12)(xi−xi−1).Vshell=f(xi*)(πxi2−πxi−12)=πf(xi*)(xi2−xi−12)=πf(xi *)(xi+xi−1)(xi−xi−1)=2πf(xi*)(xi+xi−12)(xi−xi−1).

  Обратите внимание, что xi−xi−1=Δx,xi−xi−1=Δx, поэтому мы имеем

  Vshell=2πf(xi*)(xi+xi−12)Δx.Vshell=2πf(xi*)(xi+xi−12)Δx.

  Кроме того, xi+xi−12xi+xi−12 одновременно является серединой интервала [xi−1,xi][xi−1,xi] и средним радиусом оболочки, и мы можем аппроксимировать это значением xi*. хх*. Тогда у нас есть

  Vshell≈2πf(xi*)xi*Δx.Vshell≈2πf(xi*)xi*Δx.

  Другой способ представить это — сделать вертикальный разрез в оболочке, а затем открыть ее, чтобы сформировать плоскую пластину (рис. 6.28).

  Рисунок 6,28 (а) Сделайте вертикальный разрез в репрезентативной раковине. (b) Откройте скорлупу, чтобы сформировать плоскую пластину.

  В действительности внешний радиус оболочки больше внутреннего радиуса, поэтому задний край пластины будет немного длиннее переднего края пластины. Однако мы можем аппроксимировать уплощенную оболочку плоской пластиной высотой f(xi*),f(xi*), шириной 2πxi*, 2πxi* и толщиной ΔxΔx (рис. 6.28). Таким образом, объем оболочки примерно равен объему плоской пластины. Умножая высоту, ширину и глубину тарелки, получаем 9.0042

  Vshell≈f(xi*)(2πxi*)Δx,Vshell≈f(xi*)(2πxi*)Δx,

  , это та же формула, что и раньше.

  Чтобы вычислить объем всего твердого тела, мы затем складываем объемы всех оболочек и получаем

  V≈∑i=1n(2πxi*f(xi*)Δx).V≈∑i=1n(2πxi*f(xi*)Δx).

  Здесь у нас есть еще одна сумма Римана, на этот раз для функции 2πxf(x).2πxf(x). Принимая предел как n→∞n→∞, мы получаем

  V=limn→∞∑i=1n(2πxi*f(xi*)Δx)=∫ab(2πxf(x))dx. V=limn→∞∑i=1n(2πxi*f(xi*)Δx) =∫ab(2πxf(x))dx.

  Это приводит к следующему правилу для метода цилиндрических оболочек.

  Правило: метод цилиндрических оболочек

  Пусть f(x)f(x) непрерывна и неотрицательна. Определим RR как область, ограниченную сверху графиком f(x),f(x), снизу осью x, осью x, слева линией x=a,x=a и справа линией x=b.x=b. Тогда объем тела вращения, образованного вращением RR вокруг оси y , равен

  V=∫ab(2πxf(x))dx.V=∫ab(2πxf(x))dx.

  (6.6)

  Теперь рассмотрим пример.

  Пример 6.12

  Метод цилиндрических оболочек 1

  Определим RR как область, ограниченную сверху графиком f(x)=1/xf(x)=1/x и снизу по оси xx по оси x на интервале [1 ,3].[1,3]. Найдите объем тела вращения, образованного вращением RR вокруг оси у.

  Решение

  Сначала мы должны построить область RR и связанное с ней тело вращения, как показано на следующем рисунке.

  Рисунок 6,29 (a) Область RR под графиком f(x)=1/xf(x)=1/x на интервале [1,3].[1,3]. (b) Тело вращения, образованное вращением RR вокруг оси y.

  Тогда объем твердого тела определяется выражением

  (x))dx=∫13(2πx(1x))dx=∫132πdx=2πx|13=4πединиц3.

  Контрольно-пропускной пункт 6.12

  Определить R как область, ограниченную сверху графиком f(x)=x2f(x)=x2 и снизу x — ось на интервале [1,2].[1,2]. Найдите объем тела вращения, образованного вращением RR вокруг оси у.

  Пример 6.13

  Метод цилиндрических оболочек 2

  Определим R как область, ограниченную сверху графиком f(x)=2x−x2f(x)=2x−x2 и снизу по оси xx-ось на интервале [0,2].[0,2]. Найдите объем тела вращения, образованного вращением RR вокруг оси у.

  Решение

  Сначала нарисуйте область RR и связанное с ней тело вращения, как показано на следующем рисунке.

  Рисунок 6.30 (a) Область RR под графиком f(x)=2x−x2f(x)=2x−x2 на интервале [0,2].[0,2]. (b) Объем вращения, полученный при вращении RR вокруг оси y.

  Тогда объем твердого тела определяется как

  V=∫ab(2πxf(x))dx=∫02(2πx(2x−x2))dx=2π∫02(2×2−x3)dx=2π[2×33 −x44]|02=8π3единиц3.V=∫ab(2πxf(x))dx=∫02(2πx(2x−x2))dx=2π∫02(2×2−x3)dx=2π[2×33−x44]|02 =8π3единиц3.

  Контрольно-пропускной пункт 6.13

  Определить RR как область, ограниченную сверху графиком f(x)=3x−x2f(x)=3x−x2 и снизу осью xx на интервале [0,2].[0,2 ]. Найдите объем тела вращения, образованного вращением RR вокруг оси у.

  Как и в случае метода диска и метода шайбы, мы можем использовать метод цилиндрических оболочек с телами вращения, вращающимися вокруг оси x, оси x, когда мы хотим проинтегрировать по y.y. Аналогичное правило для этого типа твердого тела приведено здесь.

  Правило: Метод цилиндрических оболочек для тел вращения вокруг оси

  x

  Пусть g(y)g(y) непрерывна и неотрицательна. Определим QQ как область, ограниченную справа графиком g(y),g(y), слева осью y, осью y, внизу линией y=c,y=c и вверху линией y=d.y=d. Тогда объем тела вращения, образованного вращением QQ вокруг оси xx, равен

  V=∫cd(2πyg(y))dy.V=∫cd(2πyg(y))dy.

  Пример 6.14

  Метод цилиндрических оболочек для твердого тела, вращающегося вокруг оси

  x

  Определить QQ как область, ограниченную справа графиком g(y)=2yg(y)=2y и слева y-осьy-ось для y∈[0,4].y∈[0,4]. Найдите объем тела вращения, образованного вращением QQ вокруг оси x.

  Решение

  Во-первых, нам нужно изобразить область QQ и связанное с ней тело вращения, как показано на следующем рисунке.

  Рисунок 6.31 (а) Область QQ слева от функции g(y)g(y) на интервале [0,4].[0,4]. (b) Тело вращения, образованное вращением QQ вокруг оси x.x-ось.

  Обозначьте заштрихованную область Q. Q. Тогда объем твердого тела определяется как

  V=∫cd(2πyg(y))dy=∫04(2πy(2y))dy=4π∫04y3/2dy=4π[2y5/25]|04=256π5единиц3. V=∫cd(2πyg(y))dy=∫04(2πy(2y))dy=4π∫04y3/2dy=4π[2y5/25]|04=256π5единиц3.

  Контрольно-пропускной пункт 6.14

  Определим QQ как область, ограниченную справа графиком g(y)=3/yg(y)=3/y и слева осью y для y∈[1,3]. у∈[1,3]. Найдите объем тела вращения, образованного вращением QQ вокруг оси абсцисс.

  В следующем примере мы рассмотрим тело вращения, для которого график функции вращается вокруг линии, отличной от одной из двух координатных осей. Чтобы установить это, нам нужно вернуться к развитию метода цилиндрических оболочек. Напомним, что мы нашли объем одной из оболочек равным

  .

  Vshell=f(xi*)(πxi2−πxi−12)=πf(xi*)(xi2−xi−12)=πf(xi*)(xi+xi−1)(xi−xi−1)=2πf (xi*)(xi+xi−12)(xi−xi−1).Vshell=f(xi*)(πxi2−πxi−12)=πf(xi*)(xi2−xi−12)=πf(xi *)(xi+xi−1)(xi−xi−1)=2πf(xi*)(xi+xi−12)(xi−xi−1).

  Основан на оболочке с внешним радиусом xixi и внутренним радиусом xi−1. xi−1. Однако если мы повернем область вокруг линии, отличной от оси Y, у нас будет другой внешний и внутренний радиус. Предположим, например, что мы вращаем область вокруг линии x=−k,x=−k, где kk — некоторая положительная константа. Тогда внешний радиус оболочки равен xi+kxi+k, а внутренний радиус оболочки равен xi−1+k.xi−1+k. Подставляя эти члены в выражение для объема, мы видим, что при вращении плоской области вокруг линии x=−k,x=−k объем оболочки равен

  Vshell=2πf(xi*)((xi+k)+(xi−1+k)2)((xi+k)−(xi−1+k))=2πf(xi*)((xi+xi −22)+k)Δx.Vshell=2πf(xi*)((xi+k)+(xi−1+k)2)((xi+k)−(xi−1+k))=2πf(xi *)((xi+xi−22)+k)∆x.

  Как и прежде, мы замечаем, что xi+xi−12xi+xi−12 является серединой интервала [xi−1,xi][xi−1,xi] и может быть аппроксимировано с помощью xi*.xi*. Тогда примерный объем оболочки

  Vshell≈2π(xi*+k)f(xi*)Δx.Vshell≈2π(xi*+k)f(xi*)Δx.

  Дальнейшее развитие продолжается, как и прежде, и мы видим, что

  V=∫ab(2π(x+k)f(x))dx.V=∫ab(2π(x+k)f(x))dx.

  Мы также можем вращать область вокруг других горизонтальных или вертикальных линий, таких как вертикальная линия в правой полуплоскости. В каждом случае формула объема должна быть скорректирована соответствующим образом. В частности, x-termx-term в интеграле необходимо заменить выражением, представляющим радиус оболочки. Чтобы увидеть, как это работает, рассмотрим следующий пример.

  Пример 6.15

  Область революции вращается вокруг линии

  Определить RR как область, ограниченную сверху графиком f(x)=xf(x)=x и снизу осью xx на интервале [1,2].[1,2]. Найдите объем тела вращения, образованного вращением RR вокруг линии x=−1.x=−1.

  Решение

  Сначала начертите область RR и связанное с ней тело вращения, как показано на следующем рисунке.

  Рисунок 6.32 (a) Область RR между графиком f(x)f(x) и осью x на интервале [1,2].[1,2]. (b) Тело вращения, образованное вращением RR вокруг линии x=−1.x=−1.

  Обратите внимание, что радиус оболочки равен x+1.x+1. Тогда объем твердого тела определяется как

  V=∫12(2π(x+1)f(x))dx=∫12(2π(x+1)x)dx=2π∫12(x2+x) dx=2π[x33+x22]|12=23π3единиц3. V=∫12(2π(x+1)f(x))dx=∫12(2π(x+1)x)dx=2π∫12(x2+ x)dx=2π[x33+x22]|12=23π3единиц3.

  Контрольно-пропускной пункт 6.15

  Определить RR как область, ограниченную сверху графиком f(x)=x2f(x)=x2 и снизу осью xx на интервале [0,1].[0,1]. Найдите объем тела вращения, образованного вращением RR вокруг линии x=−2.x=−2.

  В качестве последнего примера в этом разделе рассмотрим объем тела вращения, область вращения которого ограничена графиками двух функций.

  Пример 6.16

  Область вращения, ограниченная графиками двух функций

  Определим RR как область, ограниченную сверху графиком функции f(x)=xf(x)=x и снизу графиком функции g(x )=1/xg(x)=1/x на интервале [1,4].[1,4]. Найдите объем тела вращения, образованного вращением RR вокруг оси у.

  Решение

  Сначала начертите область RR и связанное с ней тело вращения, как показано на следующем рисунке.

  Рисунок 6. 33 (a) Область RR между графиком f(x)f(x) и графиком g(x)g(x) на интервале [1,4].[1,4]. (b) Тело вращения, образованное вращением RR вокруг оси y.

  Обратите внимание, что осью вращения является ось Y, ось Y, поэтому радиус оболочки задается просто x.x. Нам не нужно вносить какие-либо коррективы в x — член нашего интеграла. Однако высота оболочки определяется как f(x)−g(x),f(x)−g(x), поэтому в этом случае нам нужно скорректировать член f(x)f(x) подынтегральная функция. Тогда объем твердого тела равен

  V=∫14(2πx(f(x)−g(x))dx=∫14(2πx(x−1x))dx=2π∫14(x3/2 −1)dx=2π[2×5/25−x]|14=94π5единиц3.V=∫14(2πx(f(x)−g(x))dx=∫14(2πx(x−1x))dx= 2π∫14(x3/2−1)dx=2π[2×5/25−x]|14=94π5единиц3.

  Контрольно-пропускной пункт 6.16

  Определить RR как область, ограниченную сверху графиком f(x)=xf(x)=x и снизу графиком g(x)=x2g(x)=x2 на интервале [0,1]. [0,1]. Найдите объем тела вращения, образованного вращением RR вокруг оси у.

  Какой метод следует использовать?

  Мы изучили несколько методов нахождения объема тела вращения, но как узнать, какой из них использовать? Часто все сводится к выбору того, какой интеграл проще всего вычислить. На рис. 6.34 показаны различные подходы для тел вращения вокруг оси х. Вам решать разработать аналогичную таблицу для тел вращения вокруг оси y.ось y.

  Рисунок 6.34

  Давайте взглянем на пару дополнительных задач и выберем лучший подход к их решению.

  Пример 6.17

  Выбор наилучшего метода

  Для каждой из следующих задач выберите наилучший метод для нахождения объема тела вращения, образованного вращением заданной области вокруг оси x, оси x, и подставьте интеграл к найти объем (интеграл не вычислять).

  1. Область, ограниченная графиками y=x,y=x,y=2−x,y=2−x и осью x.x-ось.
  2. Область, ограниченная графиками y=4x−x2y=4x−x2 и осью x.x-ось.

  Решение

  1. Сначала нарисуйте область и тело вращения, как показано.
     

     Рисунок 6,35 (а) Область RR, ограниченная двумя линиями и осью абсцисс. (b) Тело вращения, образованное вращением RR вокруг оси x. x-ось.

     
     Глядя на область, если мы хотим интегрировать по x,x, нам придется разбить интеграл на две части, потому что у нас есть разные функции, ограничивающие область по [0,1][0,1] и [1,2].[1,2]. В этом случае, используя дисковый метод, мы получили бы

     V=∫01(πx2)dx+∫12(π(2−x)2)dx.V=∫01(πx2)dx+∫12(π(2−x)2)dx.

     
     Если бы мы использовали вместо этого метод оболочки, мы использовали бы функции yy для представления кривых, получая

     V=∫01(2πy[(2−y)−y])dy=∫01(2πy[2−2y] )dy.V=∫01(2πy[(2−y)−y])dy=∫01(2πy[2−2y])dy.

     
     Ни один из этих интегралов не является особенно обременительным, но поскольку метод оболочки требует только одного интеграла, а подынтегральная функция требует меньшего упрощения, в данном случае, вероятно, следует использовать метод оболочки.
  2. Сначала нарисуйте область и тело вращения, как показано.
     

     Рисунок 6,36 (а) Область RR между кривой и осью абсцисс. (b) Тело вращения, образованное вращением RR вокруг оси x.x-ось.

     
     Глядя на область, было бы проблематично определить горизонтальный прямоугольник; область ограничена слева и справа одной и той же функцией. Поэтому можно отбросить метод снарядов. Твердое тело не имеет полости посередине, поэтому мы можем использовать метод дисков. Тогда

     V=∫04π(4x−x2)2dx.V=∫04π(4x−x2)2dx.

  Контрольно-пропускной пункт 6.17

  Выберите наилучший метод для нахождения объема тела вращения, образованного вращением данной области вокруг оси x, оси x, и установите интеграл для нахождения объема (интеграл не вычислять): область ограничена графиками y=2−x2y=2−x2 и y=x2.y=x2.

  Раздел 6.3 Упражнения

  В следующих упражнениях найдите объем, возникающий при вращении области между двумя кривыми вокруг заданной оси. Используйте как метод оболочки, так и метод шайбы. Используйте технологию для построения графиков функций и нарисуйте типичный срез вручную.

  114.

  [T] Ограничен кривыми y=3x,x=0,y=3x,x=0 и y=3y=3, вращающимися вокруг оси y.ось y.

  115.

  [T] Ограничен кривыми y=3x,y=0,andx=3y=3x,y=0,andx=3, вращающимися вокруг оси y.ось y.

  116.

  [T] Ограничен кривыми y=3x,y=0,andy=3y=3x,y=0,andy=3, вращающимися вокруг оси x.ось x.

  117.

  [T] Ограничен кривыми y=3x,y=0,andx=3y=3x,y=0,andx=3, вращающимися вокруг оси x.ось x.

  118.

  [T] Ограничен кривыми y=2×3,y=0,andx=2y=2×3,y=0,andx=2, вращающимися вокруг оси y.ось y.

  119.

  [T] Ограничен кривыми y=2×3,y=0,andx=2y=2×3,y=0,andx=2, вращающимися вокруг оси x.ось x.

  В следующих упражнениях используйте оболочки, чтобы найти объемы заданных твердых тел. Обратите внимание, что повернутые области лежат между кривой и осью xx и вращаются вокруг оси y.ось y.

  120.

  y=1−x2,x=0,andx=1y=1−x2,x=0,andx=1

  121.

  y=5×3,x=0 иx=1y=5×3,x=0 иx=1

  122.

  y=1x,x=1,andx=100y=1x,x=1,andx=100

  123.

  y=1−x2,x=0,andx=1y=1−x2,x=0,andx=1

  124.

  y=11+x2,x=0 иx=3y=11+x2,x=0 иx=3

  125.

  y=sinx2,x=0,andx=πy=sinx2,x=0,andx=π

  126.

  y=11−x2,x=0,x=12y=11−x2,x=0,x=12

  127.

  y=x,x=0 иx=1y=x,x=0 иx=1

  128.

  y=(1+x2)3,x=0 иx=1y=(1+x2)3,x=0 иx=1

  129.

  y=5×3−2×4,x=0 иx=2y=5×3−2×4,x=0 иx=2

  В следующих упражнениях используйте оболочки, чтобы найти объем, созданный вращением областей между заданной кривой и y=0y=0 вокруг оси x. ось x.

  130.

  y=1−x2,x=0,x=1y=1−x2,x=0,x=1 и x -ось

  131.

  y=x2,x=0,x=2y=x2,x=0,x=2 и x -ось

  132.

  y=x32,x=0,x=2,y=x32,x=0,x=2 и x -ось

  133.

  y=2×2,x=1,x=2,y=2×2,x=1,x=2 и x -ось

  134.

  х=11+у2,у=1,и=4х=11+у2,у=1,иу=4

  135.

  x=1+y2y,y=1,y=4,x=1+y2y,y=1,y=4 и y -ось

  136.

  x=уютно,x=0,andy=πx=уютно,x=0,andy=π

  137.

  х=у3-2у2,х=0,х=9х=у3-2у2,х=0,х=9

  138.

  x=y+1,x=1,x=3,x=y+1,x=1,x=3 и x -ось

  139.

  x=27y3andx=3y4x=27y3andx=3y4

  В следующих упражнениях найдите объем, возникающий при вращении области между кривыми вокруг заданной оси.

  140.

  y=3−x,y=0,x=0,andx=2y=3−x,y=0,x=0,andx=2 повернуты вокруг оси y.ось y.

  141.

  y=x3,x=0,andy=8y=x3,x=0,andy=8 вращается вокруг оси y.ось y.

  142.

  y=x2,y=x,y=x2,y=x, вращается вокруг оси y.ось y.

  143.

  y=x,y=0,andx=1y=x,y=0,andx=1 повернуты вокруг линии x=2.x=2.

  144.

  y=14−x,x=1,x=2andy=0y=14−x,x=1,x=2andy=0 вращается вокруг линии x=4.x=4.

  145.

  y=xandy=x2y=xandy=x2 вращается вокруг оси y.ось y.

  146.

  y=xandy=x2y=xandy=x2 вращается вокруг линии x=2.x=2.

  147.

  x=y3,x=1y,x=1,andx=2x=y3,x=1y,x=1,andx=2 повернуты вокруг оси x.ось x.

  148.

  x=y2andy=xx=y2andy=x вращается вокруг линии y=2.y=2.

  149.

  [T] Слева от x=sin(πy),x=sin(πy), справа от y=x,y=x, вокруг оси y.ось y.

  В следующих упражнениях используйте технологию построения графика области. Определите, какой метод, по вашему мнению, проще всего использовать для вычисления объема, генерируемого при вращении функции вокруг заданной оси. Затем используйте выбранный вами метод, чтобы найти объем.

  150.

  [T] y=x2y=x2 и y=4xy=4x повернуты вокруг оси y.ось y.

  151.

  [T] y=cos(πx),y=sin(πx),x=14,andx=54y=cos(πx),y=sin(πx),x=14,andx=54 вращается вокруг y-ось.y-ось. Это упражнение требует продвинутой техники. Вы можете использовать технологию для выполнения интеграции.

  152.

  [T] y=x2−2x,x=2,andx=4y=x2−2x,x=2,andx=4 вращается вокруг оси y.ось y.

  153.

  [T] y=x2−2x,x=2,andx=4y=x2−2x,x=2,andx=4 вращается вокруг оси x.x-ось.

  154.

  [T] y=3×3−2,y=x,andx=2y=3×3−2,y=x,andx=2 вращается вокруг оси x.x-ось.

  155.

  [T] y=3×3−2,y=x,andx=2y=3×3−2,y=x,andx=2 вращается вокруг оси y.ось y.

  156.

  [T] x=sin(πy2)x=sin(πy2) и x=2yx=2y вращается вокруг оси x.x-ось.

  157.

  [T] x=y2,x=y2−2y+1,andx=2x=y2,x=y2−2y+1,andx=2 повернуты вокруг оси y.ось y.

  В следующих упражнениях используйте метод оболочек для аппроксимации объемов некоторых обычных объектов, изображенных на прилагаемых рисунках.

  158.

  Методом оболочек найдите объем сферы радиусом r.r.

  159.

  Методом оболочек найдите объем конуса радиусом rr и высотой h.h.

  160.

  Используйте метод оболочек, чтобы найти объем эллипсоида (x2/a2)+(y2/b2)=1(x2/a2)+(y2/b2)=1, повернутого вокруг оси x.ось x .

  161.

  Методом оболочек найдите объем цилиндра радиусом rr и высотой h.h.

  162.

  Используйте метод ракушек, чтобы найти объем бублика, который образуется при вращении окружности x2+y2=4×2+y2=4 вокруг линии x=4.x=4.

  163.

  Рассмотрим область, заключенную в графики y=f(x),y=1+f(x),x=0,y=0,y=f(x),y=1+f(x), х=0,у=0 и х=а>0.х=а>0. Каков объем твердого тела, образованного при вращении этой области вокруг оси y? оси y? Предположим, что функция определена на интервале [0,a].